El problema de las manecillas del reloj

Descubrí este problema a través de los últimos videos del curso coursera "Magic in the middle ages" de la universidad de Barcelona. En uno de sus videos, explicaban el problema de las conjunciones astrales a través del ejemplo de las manecillas del reloj que se superponen en algunas posiciones.

El profesor que presentaba el vídeo hizo la siguiente pregunta: ¿Cuántas veces se superponen las manecillas del reloj a lo largo de 24 horas? Y luego nos mostró el reloj en funcionamiento, para que viéramos que que las manecillas se superponen 11 veces en 12 horas.

No hay demostración más evidente que una demostración gráfica, pero aun así, en el foro del curso un alumno insistía en preguntar cómo era posible que se superpusieran 11 veces, y no 12. Así que yo traté de hacer (desde mis olvidados conocimientos de álgebra elemental) algún tipo de demostración, más allá del "si la segunda vez que se superponen es a la una y cinco, eso quiere decir que pasa más de una hora entre coincidencia y coincidencia".

Después de varios intentos (las ecuaciones que había planteado estaban bien resueltas pero los resultados no cuadraban; solo tras llevarlas a la pantalla con processing.js descubrí que estaba usando la variable de las horas para contar vueltas de reloj de 12 horas), conseguí llegar a una demostración algebraica. Aquí van mis cálculos.

El truco del almendruco está en encontrar una posición donde la porción de esfera recorrida por la manecilla de las horas, que llamaremos H, sea igual que la porción recorrida por la manecilla de los minutos, que llamaremos m.

La manecilla de las horas da una vuelta completa cada 12 horas. Si T representa la hora actual, H=¹⁄₁₂T.

Por su parte, la manecilla de los minutos da una vuelta completa por hora, por lo que podríamos suponer que m=T. Sin embargo, como no nos interesa el número de vueltas completas de la manecilla de los minutos, sino solo la fracción de la vuelta actual que se ha completado, sustraeremos las vueltas completas, que denominaremos T′. Así, m=T-T′.

Estamos buscando m=H, que según nuestras definiciones anteriores se puede expresar como T-T′=¹⁄₁₂T.

Ahora un poco de álgebra básica, de nivel 8º de EGB:

T-T′=T/12;

T=T′+T/12;

T-T/12=T′;

T(12-1)/12=T′;

T11/12=T′

T=12T′/11

A continuación, solo tenemos que dar valores enteros entre 0 y 11 a la variable T′ y veremos las horas a las que se cruzan las agujas:

T′	T	Hora
0	0	0:00:00
1	1,0909...	01:05:27
2	2,1818...	02:10:54
3	3,2727...	03:16:21
4	4,3636...	04:21:49
5	5,4545...	05:27:16
6	6,5454...	06:32:43
7	7,6363...	07:38:10
8	8,7272...	08:43:38
9	9,8181...	09:49:05
10	10,9090...	10:54:32
11	12	12:00:00

Estos valores los he calculado con las siguiente hoja de cálculo: