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lunes, 25 de diciembre de 2017

El problema de las manecillas del reloj

Descubrí este problema a través de los últimos videos del curso coursera "Magic in the middle ages" de la universidad de Barcelona. En uno de sus videos, explicaban el problema de las conjunciones astrales a través del ejemplo de las manecillas del reloj que se superponen en algunas posiciones.

El profesor que presentaba el vídeo hizo la siguiente pregunta: ¿Cuántas veces se superponen las manecillas del reloj a lo largo de 24 horas? Y luego nos mostró el reloj en funcionamiento, para que viéramos que que las manecillas se superponen 11 veces en 12 horas.

No hay demostración más evidente que una demostración gráfica, pero aun así, en el foro del curso un alumno insistía en preguntar cómo era posible que se superpusieran 11 veces, y no 12. Así que yo traté de hacer (desde mis olvidados conocimientos de álgebra elemental) algún tipo de demostración, más allá del "si la segunda vez que se superponen es a la una y cinco, eso quiere decir que pasa más de una hora entre coincidencia y coincidencia".

Después de varios intentos (las ecuaciones que había planteado estaban bien resueltas pero los resultados no cuadraban; solo tras llevarlas a la pantalla con processing.js descubrí que estaba usando la variable de las horas para contar vueltas de reloj de 12 horas), conseguí llegar a una demostración algebraica. Aquí van mis cálculos.

El truco del almendruco está en encontrar una posición donde la porción de esfera recorrida por la manecilla de las horas, que llamaremos H, sea igual que la porción recorrida por la manecilla de los minutos, que llamaremos m.

La manecilla de las horas da una vuelta completa cada 12 horas. Si T representa la hora actual, H=112T.

Por su parte, la manecilla de los minutos da una vuelta completa por hora, por lo que podríamos suponer que m=T. Sin embargo, como no nos interesa el número de vueltas completas de la manecilla de los minutos, sino solo la fracción de la vuelta actual que se ha completado, sustraeremos las vueltas completas, que denominaremos T′. Así, m=T-T′.

Estamos buscando m=H, que según nuestras definiciones anteriores se puede expresar como T-T′=112T.

Ahora un poco de álgebra básica, de nivel 8º de EGB:

T-T′=T/12;

T=T′+T/12;

T-T/12=T′;

T(12-1)/12=T′;

T11/12=T′

T=12T′/11

A continuación, solo tenemos que dar valores enteros entre 0 y 11 a la variable T′ y veremos las horas a las que se cruzan las agujas:

T′THora
000:00:00
11,0909...01:05:27
22,1818...02:10:54
33,2727...03:16:21
44,3636...04:21:49
55,4545...05:27:16
66,5454...06:32:43
77,6363...07:38:10
88,7272...08:43:38
99,8181...09:49:05
1010,9090...10:54:32
111212:00:00

Estos valores los he calculado con las siguiente hoja de cálculo:

jueves, 7 de diciembre de 2017

Sugerencias navideñas...

Al ver el enlace de Google a su pueblo navideño, que ya se ha convertido en un clásico de estas fechas, he decidido publicar aquí unas cuantas sugerencias navideñas. Es una costumbre que mantuve durante varios años, pero que ya había abandonado...

Recetas:

En primer lugar, os mencionaré unas cuantas recetas. Preparar vuestros propios turrones no es tan complicado, aunque mi propia receta de turrón sabe más bien a mazapán. Si usáis almendra ya molida el resultado será una crema de mazapán suave; para que se parezca más al turrón blando hay que picar la almendra en la batidora a alta velocidad para que se desprenda aceite (por supuesto, los puristas usarían miel, que yo por razones dietéticas he evitado). El cuanto al nougat, este año no encontré nueces peladas y lo hice de avellana, con gran éxito. Algún día prepararé mi propia Nocilla®.

Una receta de mazapán más clásica, la de los mazapanes de Soto, es también fácil de preparar. Mi madre me dice que, contra lo que afirma el enlace anterior, el auténtico mazapán de Soto no lleva patata. Sin embargo, el puré aparece como elemento de amalgama en el recetario secreto familiar que algún día publicaré (¡cuando os dignéis a participar en mi proyecto de etnografía sobre los recetarios!). Tened en cuenta que el azúcar y la humedad de estos mazapanes caseros son un caldo de cultivo para toda clase de seres vivos, así que no los preparéis con más de una semana de antelación o se florecerán...

Proyectos de manualidades

Supongo que a estas alturas estaréis hartos de ver en Pinterest miles y miles de proyectos de decoración navideña. Os dejo con algo muy facilito, un árbol de navidad en papiroflexia que me enseñaron a hacer en las actividades de navidad de un instituto, hace unos años

Para el ordenador

Otros años he publicado enlaces a juegos navideños que quizá ya no funcionen (la principal diferencia de los PC entre la década de los 90 y las dos décadas del siglo presente es que ya no le preocupa a nadie la retrocompatiblidad). Así que os enlazo a dos proyectos míos un poco tontos, pero que quizá os hagan gracia:

Elfo saltarín:
Es una marioneta con forma de ayudante de Papá Noel que responde (más o menos) a los clics sobre la pantalla.
Tormenta de regalos:
Es una animación de regalos cayendo sobre la pantalla, arrastrados por el viento. Se puede utilizar como "salvapantallas" mediante cualquier herramienta de salvapantallas web (por ejemplo, Web page screensaver en github).